カージオイド

カージオイド（英: cardioid）は、極座標の方程式

${\displaystyle r=a(1 \cos \theta )}$

によって表される曲線である。心臓形（しんぞうけい）とも呼ばれる。心臓に似た形のためこの名称が付いた（ギリシア語: καρδιοειδής, kardioeides) =「καρδιά (kardia, 心臓）」 「είδος (eidos, 形）」）。

直交座標の方程式では

${\displaystyle (x^{2} y^{2})(x^{2} y^{2}-2ax)-a^{2}y^{2}=0}$

で、媒介変数表示では

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a(1 \cos \theta )\cos \theta ,\\y&=a(1 \cos \theta )\sin \theta \end{aligned}}}$

で、それぞれ表される。

性質

• エピサイクロイドの一種と見なすことができる。またパスカルの蝸牛形（リマソン）の一種と見なすこともできる。
• 半径 a の円の、当該円周上の点を垂足点とする垂足曲線に相当する。
• x軸に対して線対称で、尖点は原点Oである。x軸とは原点Oと (2a, 0) で、y軸とは (0, ± a) で交わる。x軸から最も離れた点の座標は ${\displaystyle \left({\frac {3}{4}}a,\pm {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}a\right)}$ である。
• 曲線で囲まれる面積 S と曲線の弧長 l は

$${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {3}{2}}\pi a^{2},\\l&=8a\end{aligned}}}$$ である。

• 媒介変数 θ の地点における曲率半径は ${\displaystyle {\frac {4a}{3}}\sin {\frac {\theta }{2}}}$ である。
• 尖点を通る弦の長さは一定値 2a となる。当該任意の弦の中点は、尖点を通り直径 a の円周上に位置する。

外部リンク

• 日本大百科全書(ニッポニカ)『カージオイド』 - コトバンク
• 『カージオイド曲線のグラフ，面積，長さ』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Cardioid". mathworld.wolfram.com (英語).